Lissajous I

Es bien conocido que las representaciones decimales de las potencias de diez comienzan con un dígito '1' y terminan con un dígito '0' (exceptuando el caso trivial de 1⁰ = 1; se supondrán exponentes no nulos en el resto del post). Lo mismo sucederá, cualquiera sea el valor de n, con las representaciones en base n de las potencias de n.

Lo que no es tan claro es el comportamiento de los dígitos en una base dada, por ejemplo 10, de las potencias de un número distinto a la base. Si consideramos el caso de las potencias de 2 expresadas en base 10, podemos ver que terminarán en un dígito par ya que son números pares. Pensando un poco más, podemos ver que nunca terminarán en '0', ya que para ello deberían ser múltiplos de 10 y, por lo tanto, múltiplos de 5. Pero ciertamente quedaría en duda qué otros valores particulares podrán tomar los últimos dígitos...

Los que memorizamos potencias de dos como parte de nuestra actividad académica/profesional :-) podemos ver que:

2¹ = 2
2² = 4
2⁴ = 16
2³ = 8

y que, por lo tanto, todos los otros dígitos pares aparecen al final de las potencias de dos. Pero este es un proceso de enumeración exhaustiva, claramente insatisfactorio a la hora de obtener entendimiento de un proceso.

La primera incógnita que quedará planteada para el próximo post es determinar "que regla" siguen estos dígitos y, de mayor interés, qué regla siguen los dígitos más significativos; por ejemplo, puede una potencia de dos empezar con 9? El otro interrogante será ver que conexión tiene esto con las figuras de Lissajous...