Lissajous II

(Continúa a este post.)

Es bien conocido que puede escribirse a todo número real como el producto de un número real de módulo menor que 1 y una potencia entera de un número mayor que 1. Por ejemplo, tomando base 10, tenemos:

234.435 = 0.234435 ∙ 10³

3.14159... = 0.314159... ∙ 10¹

1024 = 0.1024 ∙ 10⁴

Claramente podemos observar que el primer dígito del número aparece como el primer decimal en esta forma de representación. Utilizando algunas funciones tales como

⌊x⌋ = el mayor entero menor o igual que x,

⌈x⌉ = el menor entero mayor o igual que x y

{x} = la parte fraccionaria de x, igual a x - ⌊x⌋,

podemos expresar esto como

pd(x) = ⌊10^{{log₁₀ x}}⌋,

donde pd(x) es la función que devuelve el primer dígito del número (esta expresión está limitada a numeros positivos, pero son los que interesan en nuestro caso). Esto nos indica que el primer dígito será:

1 si 0 ≤ {log₁₀ x} <  log₁₀ 2
2 si  log₁₀ 2 ≤ {log₁₀ x} <  log₁₀ 3
...
9 si  log₁₀ 9 ≤ {log₁₀ x} <  1 

Por lo tanto, la determinación de la primera cifra de la expansión decimal de un número se reduce a encontrar en cual de estos intervalos cae la parte fraccionarial de su logaritmo en base 10. Si aplicamos esto a las potencias de dos tenemos que

 {log₁₀ 2ⁿ} = {n log₁₀ 2}.

Por consiguiente, la determinación de los posibles valores de los primeros dígitos de las potencias de dos se reduce a encontrar los sectores del intervalo [0, 1) donde caen las partes fraccionarias de los múltiplos de log₁₀ 2. Encontrar cuáles son estos sectores y cuál es la conexión de todo esto con las figuras de Lissajous quedará para el próximo post por razones de tiempo :-)