Finalmente anuncio la mudanza del blog a WordPress. No es que en general Blogger sea una mala opción, pero el soporte de LaTeX en WordPress es realmente muy práctico. Además, una vez que logré importar los posts (Guille: resultó más fácil de lo esperado...), desapareció uno de lso obstáculos que quedaban.
Esta es la nueva dirección del blog.
Este es el post inaugural (ya quedó un poco viejo).
Este es el único post nuevo (por el momento, obviamente).
No se olviden de actualizar sus feeds!
sábado, 24 de enero de 2009
miércoles, 21 de enero de 2009
"Paradoja" resuelta
Quería hacer unos comentarios respecto al problema del post anterior. Se mencionaba que, a una vela solar en movimiento, la luz le transmitía energía por efecto Doppler: la luz reflejada tendrá un espectro más rojizo (más frío) que la incidente. Pero una vela solar "en reposo" esto no le transmite potencia; como puede entonces comenzar a moverse...
Y la respuesta es verdaderamente simple: no necesita potencia para empezar a moverse :-D En efecto, supongamos que la vela solar se mueve con aceleración constante. Entonces tendremos para su energía cinética en función del tiempo la expresión:
T(t) = 1/2 mv2 = 1/2 m(at)2 = 1/2 ma2t2
Como la potencia no es más que un flujo de energía (en este caso la requerida para originar el aumento observado de la energía cinética), podemos obtener la potencia que la luz debería transmitir mediante una simple derivada:
P(t) = d/dt(T(t)) = ma2t
Puede observarse claramente que la potencia requerida inicialmente es nula y que esto se deriva de la relación cuadrática entre la energía cinética y la velocidad. Sorprendente, no?
Y la respuesta es verdaderamente simple: no necesita potencia para empezar a moverse :-D En efecto, supongamos que la vela solar se mueve con aceleración constante. Entonces tendremos para su energía cinética en función del tiempo la expresión:
T(t) = 1/2 mv2 = 1/2 m(at)2 = 1/2 ma2t2
Como la potencia no es más que un flujo de energía (en este caso la requerida para originar el aumento observado de la energía cinética), podemos obtener la potencia que la luz debería transmitir mediante una simple derivada:
P(t) = d/dt(T(t)) = ma2t
Puede observarse claramente que la potencia requerida inicialmente es nula y que esto se deriva de la relación cuadrática entre la energía cinética y la velocidad. Sorprendente, no?
viernes, 9 de enero de 2009
Zenón 2.0 :-)
Una vela solar es un sistema propuesto de propulsión para naves espaciales que utiliza la presión que ejerce la luz solar sobre una membrana (generalmente reflectiva). Puede representarse mediante el siguiente esquema (dibujado por Randall Munroe, el autor de xkcd):
Obviamente, como todo sistema físico, una vela solar debe obedecer la conservación de la energía. Por lo tanto su energía cinética debe adquirirse a partir de una correspondiente reducción en la energía de la luz incidente. En efecto, esto es lo que sucede y, en el caso de una vela perfectamente reflectiva, el efecto Doppler reduce la longitud de onda de los fotones reflejados de modo que la energía se conserve.
El problema es el siguiente: cuando la vela está estacionaria, no hay efecto Doppler y la potencia transferida a la vela es nula; como puede entonces comenzar a moverse? (Hint: T = 1/2 mv2)
La respuesta a este problema y un análisis más exhaustivo del comportamiento energético de las velas solares en unos días...
Obviamente, como todo sistema físico, una vela solar debe obedecer la conservación de la energía. Por lo tanto su energía cinética debe adquirirse a partir de una correspondiente reducción en la energía de la luz incidente. En efecto, esto es lo que sucede y, en el caso de una vela perfectamente reflectiva, el efecto Doppler reduce la longitud de onda de los fotones reflejados de modo que la energía se conserve.El problema es el siguiente: cuando la vela está estacionaria, no hay efecto Doppler y la potencia transferida a la vela es nula; como puede entonces comenzar a moverse? (Hint: T = 1/2 mv2)
La respuesta a este problema y un análisis más exhaustivo del comportamiento energético de las velas solares en unos días...
domingo, 28 de diciembre de 2008
JavaScript
Para practicar la puesta en práctica de las recomendaciones de Douglas Crockford respecto a como programar en JavaScript, me decidí por hacer una demostración en SVG del famoso "Arnold's Cat Map". Este mapeo consiste simplemente en aplicar repetidas veces a las coordenadas de un conjunto de puntos inicial la transformación
(x, y) → (x + y, x + 2y) mod 1 .
El "mod 1" es lo que indica que trabajamos sobre el toroide ℝ2/ℤ2.
Si bien el mapa aplicado a valores reales es caótico y mezcla fuertemente el conjunto de puntos, se observa un fenómeno de recurrencia en las variantes discretas del problema (tal como la implementada). Para este caso particular en el que la imagen es de 32 X 32 pixels, la recurrencia se observa en el paso 24.
Nota de implementación: la imagen fue tomada de Wikipedia y editada y transformada a formato "JSON" utilizando PIL.
(x, y) → (x + y, x + 2y) mod 1 .
El "mod 1" es lo que indica que trabajamos sobre el toroide ℝ2/ℤ2.
Si bien el mapa aplicado a valores reales es caótico y mezcla fuertemente el conjunto de puntos, se observa un fenómeno de recurrencia en las variantes discretas del problema (tal como la implementada). Para este caso particular en el que la imagen es de 32 X 32 pixels, la recurrencia se observa en el paso 24.
Nota de implementación: la imagen fue tomada de Wikipedia y editada y transformada a formato "JSON" utilizando PIL.
lunes, 22 de diciembre de 2008
Porqué los espejos intercambian derecha e izquierda?
Se cree comúnmente que los espejos "intercambian la derecha y la izquierda". Por ejemplo, la imagen especular de una persona diestra escribirá, aparentemente, con la mano izquierda. Esto nos llevaría a pensar que el espejo trata en forma diferente a las direcciones horizontales que a las direcciones verticales (porque no observamos que el espejo invierta "arriba y abajo").
Pero esto no es lo que en realidad "el espejo hace". La reflexión invierte las posiciones en la dirección perpendicular al espejo. Es por alguna razón psicológica que esto se observa como una rotación de 180° alrededor de un eje vertical compuesta con una inversión de derecha e izquierda.
La razón que se me ocurre para esto es que inconsciente observamos al reflejo como otra persona física; como físicamente las personas pueden rotarse pero no reflejarse, la visualizamos como una versión rotada de nosotros mismos con sus lados derecho e izquierdo intercambiados.
Pero esto no es lo que en realidad "el espejo hace". La reflexión invierte las posiciones en la dirección perpendicular al espejo. Es por alguna razón psicológica que esto se observa como una rotación de 180° alrededor de un eje vertical compuesta con una inversión de derecha e izquierda.
La razón que se me ocurre para esto es que inconsciente observamos al reflejo como otra persona física; como físicamente las personas pueden rotarse pero no reflejarse, la visualizamos como una versión rotada de nosotros mismos con sus lados derecho e izquierdo intercambiados.
Esto plantea la pregunta de porqué visualizamos una reflexión derecha/izquierda pero no la reflexión adelante/atrás. Si bien no se me ocurre una respuesta directa a esta pregunta, probablemente se deba a la cuasi-simetría externa de las personas respecto al intercambio derecha/izquierda.
sábado, 20 de diciembre de 2008
Lattice Boltzmann (actualización)
Todavía no encontré el tiempo para dar una breve explicación de Lattice Boltzmann, pero logré mejorar notablemnete la eficiencia de la simulación. Puede hacerse checkout de la última "versión" hasta el momento en http://lattice-boltzmann-sdl.googlecode.com/svn/tags/0.03/.
A continuación muestro dos imágenes de la simulación, que está corriendo a unos 30 FPS en un solo core de un Intel Core Duo T2600 @ 2.16 GHz. Corresponden a la colisión de dos esferas de fluido en forma ligeramente oblicua.
A continuación muestro dos imágenes de la simulación, que está corriendo a unos 30 FPS en un solo core de un Intel Core Duo T2600 @ 2.16 GHz. Corresponden a la colisión de dos esferas de fluido en forma ligeramente oblicua.
miércoles, 17 de diciembre de 2008
The Emily Project
La calidad de los renders sigue mejorando...
Actualización: El video normal no le hace justicia; puede verse el video en alta definición.
Actualización: El video normal no le hace justicia; puede verse el video en alta definición.
domingo, 14 de diciembre de 2008
La subasta del dólar
Desde el punto de vista formal se define a un juego como un conjunto de jugadores, cada uno de los cuales dispone de una serie de posibles acciones a tomar, y una forma de determinar cuanta recompensa recibe cada uno de los jugadores en base a las acciones que eligen todos ellos. Este formalismo no solo puede modelizar juegos como el ta-te-ti o el ajedrez, sino que puede aplicarse al análisis de situaciones hipotéticas tales como el conocido "dilema del prisionero".
Uno de los juegos que fueron definidos de este modo es el conocido como la "subasta del dolar" y fue creado por Martin Shubik en 1971 para dar un ejemplo simple del conocido proceso de escalada en los conflictos. El juego es muy simple: se subasta un dólar entre dos jugadores pero ambos deben pagar sus ofertas, lo que altera radicalmente el desarrollo de la subasta.
Supongamos que la oferta mínima y el incremento mínimo de las ofertas se establece en 0.05. Entonces, a primera vista, parece un excelente retorno ofrecer 0.05 a cambio del dólar; pero también lo será para el otro jugador ofrecer 0.10 y así el proceso puede seguir hasta que las ofertas hasta 0.95. Pero la fase más interesante ocurre a partir de este momento...
Supongamos que el jugador "A" hizo la última oferta de 0.95 después de que "B" hubiera ofrecido 0.90. Entonces "B" tiene dos opciones: puede aceptar perder 0.90 o puede ofrecer 1.00 y "salir hecho". El mismo análisis puede hacerlo "A" en caso de realizar "B" su oferta de 1.00: puede perder 0.95 u ofrecer 1.05 y perder 0.05... Esto lleva a una competencia en la que las pérdidas son potencialmente ilimitadas.
Uno podría pensar que este juego carece de relevancia práctica en si y que solo interesa como modelo de otras competencias que suceden en la realidad, pero eso sería incorrecto. Pueden verse más detalles acerca de Swoopo y su modelo de negocios en múltiples sitios. Quién dice que la teoría de juegos no es redituable? :-D
Uno de los juegos que fueron definidos de este modo es el conocido como la "subasta del dolar" y fue creado por Martin Shubik en 1971 para dar un ejemplo simple del conocido proceso de escalada en los conflictos. El juego es muy simple: se subasta un dólar entre dos jugadores pero ambos deben pagar sus ofertas, lo que altera radicalmente el desarrollo de la subasta.
Supongamos que la oferta mínima y el incremento mínimo de las ofertas se establece en 0.05. Entonces, a primera vista, parece un excelente retorno ofrecer 0.05 a cambio del dólar; pero también lo será para el otro jugador ofrecer 0.10 y así el proceso puede seguir hasta que las ofertas hasta 0.95. Pero la fase más interesante ocurre a partir de este momento...
Supongamos que el jugador "A" hizo la última oferta de 0.95 después de que "B" hubiera ofrecido 0.90. Entonces "B" tiene dos opciones: puede aceptar perder 0.90 o puede ofrecer 1.00 y "salir hecho". El mismo análisis puede hacerlo "A" en caso de realizar "B" su oferta de 1.00: puede perder 0.95 u ofrecer 1.05 y perder 0.05... Esto lleva a una competencia en la que las pérdidas son potencialmente ilimitadas.
Uno podría pensar que este juego carece de relevancia práctica en si y que solo interesa como modelo de otras competencias que suceden en la realidad, pero eso sería incorrecto. Pueden verse más detalles acerca de Swoopo y su modelo de negocios en múltiples sitios. Quién dice que la teoría de juegos no es redituable? :-D
lunes, 8 de diciembre de 2008
Lattice Boltzmann (con SDL!)
Estoy trabajando en un nuevo proyecto personal: realizar una simulación de fluidos mediante el método conocido como Lattice Boltzmann y usando SDL para los gráficos. Si bien el objetivo último es lograr una buena performance, actualmente solo está funcionando la implementación "lenta" que voy a usar con propósitos comparativos (a unos 8 FPS con simple precisión en un Core Duo @ 2.16 GHz).
Hoy fue una experiencia bastante frustrante: empleé horas buscando un error en mi implementación de Lattice Boltzmann para descubrir finalmente que el problema estaba en las condiciones iniciales que estaba empleando... Más específicamente, no estaba cumpliendo con la condición CFL :-S
En las próximas semanas probablemente agregue algo más acerca de Lattice Boltzmann y, con suerte, tenga nuevos avances del proyecto.
Hoy fue una experiencia bastante frustrante: empleé horas buscando un error en mi implementación de Lattice Boltzmann para descubrir finalmente que el problema estaba en las condiciones iniciales que estaba empleando... Más específicamente, no estaba cumpliendo con la condición CFL :-S
En las próximas semanas probablemente agregue algo más acerca de Lattice Boltzmann y, con suerte, tenga nuevos avances del proyecto.
miércoles, 3 de diciembre de 2008
Lissajous II
234.435 = 0.234435 ∙ 103
3.14159... = 0.314159... ∙ 101
1024 = 0.1024 ∙ 104
Claramente podemos observar que el primer dígito del número aparece como el primer decimal en esta forma de representación. Utilizando algunas funciones tales como
{x} = la parte fraccionaria de x, igual a x - ⌊x⌋,
podemos expresar esto como
pd(x) = ⌊10{log10 x}⌋,
donde pd(x) es la función que devuelve el primer dígito del número (esta expresión está limitada a numeros positivos, pero son los que interesan en nuestro caso). Esto nos indica que el primer dígito será:
1 si 0 ≤ {log10 x} < log10 2
2 si log10 2 ≤ {log10 x} < log10 3
...
9 si log10 9 ≤ {log10 x} < 1
donde pd(x) es la función que devuelve el primer dígito del número (esta expresión está limitada a numeros positivos, pero son los que interesan en nuestro caso). Esto nos indica que el primer dígito será:
1 si 0 ≤ {log10 x} < log10 2
2 si log10 2 ≤ {log10 x} < log10 3
...
9 si log10 9 ≤ {log10 x} < 1
Por lo tanto, la determinación de la primera cifra de la expansión decimal de un número se reduce a encontrar en cual de estos intervalos cae la parte fraccionarial de su logaritmo en base 10. Si aplicamos esto a las potencias de dos tenemos que
{log10 2n} = {n log10 2}.
Por consiguiente, la determinación de los posibles valores de los primeros dígitos de las potencias de dos se reduce a encontrar los sectores del intervalo [0, 1) donde caen las partes fraccionarias de los múltiplos de log10 2. Encontrar cuáles son estos sectores y cuál es la conexión de todo esto con las figuras de Lissajous quedará para el próximo post por razones de tiempo :-)
martes, 25 de noviembre de 2008
Lissajous I
Es bien conocido que las representaciones decimales de las potencias de diez comienzan con un dígito '1' y terminan con un dígito '0' (exceptuando el caso trivial de 10 = 1; se supondrán exponentes no nulos en el resto del post). Lo mismo sucederá, cualquiera sea el valor de n, con las representaciones en base n de las potencias de n.
Lo que no es tan claro es el comportamiento de los dígitos en una base dada, por ejemplo 10, de las potencias de un número distinto a la base. Si consideramos el caso de las potencias de 2 expresadas en base 10, podemos ver que terminarán en un dígito par ya que son números pares. Pensando un poco más, podemos ver que nunca terminarán en '0', ya que para ello deberían ser múltiplos de 10 y, por lo tanto, múltiplos de 5. Pero ciertamente quedaría en duda qué otros valores particulares podrán tomar los últimos dígitos...
Los que memorizamos potencias de dos como parte de nuestra actividad académica/profesional :-) podemos ver que:
21 = 2
22 = 4
24 = 16
23 = 8
y que, por lo tanto, todos los otros dígitos pares aparecen al final de las potencias de dos. Pero este es un proceso de enumeración exhaustiva, claramente insatisfactorio a la hora de obtener entendimiento de un proceso.
La primera incógnita que quedará planteada para el próximo post es determinar "que regla" siguen estos dígitos y, de mayor interés, qué regla siguen los dígitos más significativos; por ejemplo, puede una potencia de dos empezar con 9? El otro interrogante será ver que conexión tiene esto con las figuras de Lissajous...
Lo que no es tan claro es el comportamiento de los dígitos en una base dada, por ejemplo 10, de las potencias de un número distinto a la base. Si consideramos el caso de las potencias de 2 expresadas en base 10, podemos ver que terminarán en un dígito par ya que son números pares. Pensando un poco más, podemos ver que nunca terminarán en '0', ya que para ello deberían ser múltiplos de 10 y, por lo tanto, múltiplos de 5. Pero ciertamente quedaría en duda qué otros valores particulares podrán tomar los últimos dígitos...
Los que memorizamos potencias de dos como parte de nuestra actividad académica/profesional :-) podemos ver que:
21 = 2
22 = 4
24 = 16
23 = 8
y que, por lo tanto, todos los otros dígitos pares aparecen al final de las potencias de dos. Pero este es un proceso de enumeración exhaustiva, claramente insatisfactorio a la hora de obtener entendimiento de un proceso.
La primera incógnita que quedará planteada para el próximo post es determinar "que regla" siguen estos dígitos y, de mayor interés, qué regla siguen los dígitos más significativos; por ejemplo, puede una potencia de dos empezar con 9? El otro interrogante será ver que conexión tiene esto con las figuras de Lissajous...
sábado, 15 de noviembre de 2008
Solución y otras cosas
A continuación se muestra la solución al problema planteado en el último post. Para verla hacer click aquí.
El programa eventualmente se detiene, pero después de unas 22040 iteraciones del loop externo. Por lo tanto, para fines prácticos, puede considerarse como un loop infinito... Es claro que devuelve cero, ya que tuvo que salir del loop externo para poder terminar. A continuación se describe con algo más de detalle el funcionamiento del programa.
Es claro que el único punto confuso es la acción de la línea "while (!++*p++);", el resto del programa es bastante normal. Para interpretarla, puede verse teniendo en cuenta la prioridad de los operadores que es equivalente a realizar "while (!(++(*(p++))));". Esto corresponde a:
En otro área completamente diferente, encontraron en México una caverna llena de extraordinarios cristales de yeso hidratado (sulfato de calcio):
En el sitio de National Geographic pueden observarse otras fotos espectaculares y más detalles sobre el descubrimiento (por ejemplo, el porqué de los trajes naranjas :-). (Via Robin Hanson.)
El programa eventualmente se detiene, pero después de unas 22040 iteraciones del loop externo. Por lo tanto, para fines prácticos, puede considerarse como un loop infinito... Es claro que devuelve cero, ya que tuvo que salir del loop externo para poder terminar. A continuación se describe con algo más de detalle el funcionamiento del programa.
Es claro que el único punto confuso es la acción de la línea "while (!++*p++);", el resto del programa es bastante normal. Para interpretarla, puede verse teniendo en cuenta la prioridad de los operadores que es equivalente a realizar "while (!(++(*(p++))));". Esto corresponde a:
- Incrementar p devolviendo su valor original, que podemos llamar p'.
- Incrementar el valor apuntado por p'.
- Si el valor apuntado por p' es ahora 0, volver al paso 1. En caso contrario, salir.
- (1) p <-- &buffer[1]
- (2) buffer[0] <-- 1
- (3) Sale porque buffer[0] != 0
- (1) p <-- &buffer[1]
- (2) buffer[0] <-- 2
- (3) Sale porque buffer[0] != 0
- (1) p <-- &buffer[1]
- (2) buffer[0] <-- 0
- (3) Vuelve a "1" porque buffer[0] == 0
- (1') p <-- &buffer[2]
- (2') buffer[1] <-- 1
- (3') Sale porque buffer[1] != 0
En otro área completamente diferente, encontraron en México una caverna llena de extraordinarios cristales de yeso hidratado (sulfato de calcio):
En el sitio de National Geographic pueden observarse otras fotos espectaculares y más detalles sobre el descubrimiento (por ejemplo, el porqué de los trajes naranjas :-). (Via Robin Hanson.)
lunes, 10 de noviembre de 2008
C Puzzle
El problema es determinar si el siguiente programa:
Las respuestas a estas preguntas en unos días... :-D
- termina de ejecutarse;
- en caso de hacerlo, cuanto demora y qué devuelve al sistema operativo.
static unsigned char buffer[256];
int main(void)
{
unsigned char *p, *q;
q = (p = buffer) + sizeof(buffer);
while (q - p)
{
p = buffer;
while (!++*p++);
}
return p - q;
}
Las respuestas a estas preguntas en unos días... :-D
domingo, 2 de noviembre de 2008
Detectando dígitos en un 8051
Uno de los problemas que aparecieron en un examen de Labo de Micros reciente (que le tomaron a mi hermano) indicaba hacer una "función" en assembly 8051 tal que detectara si el valor que se le pasaba era un dígito. Más especificamente, debían volver con C en 1 si y solo si el valor no era un dígito.
Yo siempre había pensado el problema de la forma obvia, algo así como:
no_es_digito:
clr C
subb A, #'0'
jc no_es_dig_end
subb A, #10
cpl C
no_es_dig_end:
ret
Pero a mi hermano le dijeron que podía hacerse con cinco instrucciones, lo que me hizo pensar en más detalle... hasta que vi que la resta no era la única solución. Eso me llevó al siguiente código:
no_es_digito:
add A, #(256 - '0')
add A, #(256 - 10)
ret
El primer add lleva, en forma modular, el valor desde el rango ASCII '0' ... '9' al rango 0x00 ... 0x09. En base a eso es simple ver que el segundo add dará como resultado C = 1 solo si el valor es 0x0a o mayor. Por lo tanto, solo dará C = 1 si el caracter pasado originalmente no cae en el rango '0' ... '9'.
No creo que pueda hacerse con dos instrucciones, ya que las instrucciones que alteran C en base al contenido del acumulador son aritméticas (según recuerdo!) y solo pueden "detectar" valores mayores o menores a uno especificado... pero el desafío queda abierto :-D
Yo siempre había pensado el problema de la forma obvia, algo así como:
no_es_digito:
clr C
subb A, #'0'
jc no_es_dig_end
subb A, #10
cpl C
no_es_dig_end:
ret
Pero a mi hermano le dijeron que podía hacerse con cinco instrucciones, lo que me hizo pensar en más detalle... hasta que vi que la resta no era la única solución. Eso me llevó al siguiente código:
no_es_digito:
add A, #(256 - '0')
add A, #(256 - 10)
ret
El primer add lleva, en forma modular, el valor desde el rango ASCII '0' ... '9' al rango 0x00 ... 0x09. En base a eso es simple ver que el segundo add dará como resultado C = 1 solo si el valor es 0x0a o mayor. Por lo tanto, solo dará C = 1 si el caracter pasado originalmente no cae en el rango '0' ... '9'.
No creo que pueda hacerse con dos instrucciones, ya que las instrucciones que alteran C en base al contenido del acumulador son aritméticas (según recuerdo!) y solo pueden "detectar" valores mayores o menores a uno especificado... pero el desafío queda abierto :-D
sábado, 18 de octubre de 2008
Sistemas de ecuaciones booleanos
Hace unos días un compañero de la facultad (hola Guille!) me comentaba sobre una clase de problemas que suelen aparecer en los parciales de Matemática Discreta (al menos en la FIUBA). Recordaba que estos problemas consistían en encontrar una función booleana que de como resultado 1 si y solo si los valores de sus parámetros satisfacen un sistema de ecuaciones booleano y eso me hizo recordar un "método" que había desarrollado cuando la había cursado (aunque creo que no tuve ocasión de usarlo en el parcial).
Nota: Las "barras" que se suelen utilizarse para indicar complemento no se expresan fácilmente en HTML. Esto puede resolverse utilizando el operador "¬". Las otras dos operaciones pueden expresarse por "∧" (AND) y "∨" (OR). Por simplicidad, podemos asumir que "∧" tiene prioridad sobre "∨".
Para empezar podemos demostrar que dada una variable y satisfaciendo x ∧ y = 0 y x ∨ y = 1 sabemos que y = ¬x (o sea la unicidad del complemento). Una forma es viendo que:
(1) x ∨ y = 1 (Hipótesis)
(2) ¬x ∧ (x ∨ y) = ¬x ∧ 1 (Aplico la misma operación a ambos miembros)
(3) ¬x ∧ (x ∨ y) = ¬x (Definición de 1)
(4) ¬x ∧ x ∨ ¬x ∧ y = ¬x (Propiedad distributiva)
(5) 0 ∨ ¬x ∧ y = ¬x (Definición de complemento)
(6) x ∧ y = 0 (Hipótesis)
(7) x ∧ y ∨ ¬x ∧ y = ¬x (Reemplazando 6 en 5)
(8) (x ∨ ¬x) ∧ y = ¬x (Propiedad distributiva)
(9) 1 ∧ y = ¬x (Definición de complemento)
(10) y = ¬x (Definición de 1)
Otro "lema" que es útil indica que dados x e y tales que x ∧ y = 1, puede decirse que x = 1 y que y = 1. Una forma de demostrarlo es la siguiente:
(1) x ∧ y = 1 (Hipótesis)
(2) x ∧ y ∨ x ∧ ¬y = 1 ∨ x ∧ ¬y (Aplico la misma operación a ambos miembros)
(3) x ∧ y ∨ x ∧ ¬y = 1 (Propiedad absorbente)
(4) x ∧ (y ∨ ¬y) = 1 (Propiedad distributiva)
(5) x ∧ 1 = 1 (Definición de complemento)
(6) x = 1 (Definición de 1)
Por simetría podemos ver que y = 1 y podemos evitar demostrar la propiedad absorbente para poder llegar alguna vez al tema a tratar :-)
Ahora, podemos ver a todo sistema de ecuaciones como una serie de igualdades entre funciones que requieren satisfacerse. Por ejemplo:
f1(x, y, ...) = g1(x, y, ...)
f2(x, y, ...) = g2(x, y, ...)
f3(x, y, ...) = g3(x, y, ...)
...
Ahora, como sabemos que x ∧ y = 0 y x ∨ y = 1 implican x = ¬y y que x ∧ y = 1 implica que tanto x como y son iguales a 1, podemos expresar una igualdad arbitraria a = b como ¬(a ∧ ¬b) ∧ (a ∨ ¬b) = 1 aplicando lo siguiente:
Ida
(1) a = b (Hipótesis)
(2) a = ¬(¬b) (Propiedad involutiva del complemento)
(3) a ∧ ¬b = 0 (Definición de complemento)
(4) a ∨ ¬b = 1 (Definición de complemento)
(5) ¬(a ∧ ¬b) = ¬0 (Aplico la misma operación a ambos miembros)
(6) ¬(a ∧ ¬b) = 1 (Aplico ¬0 = 1)
(7) ¬(a ∧ ¬b) ∧ (a ∨ ¬b) = 1 (Aplico ∧ miembro a miembro sobre 4 y 6)
Vuelta
(1) ¬(a ∧ ¬b) ∧ (a ∨ ¬b) = 1 (Hipótesis)
(2) ¬(a ∧ ¬b) = 1 (Propiedad demostrada anteriormente)
(3) a ∨ ¬b = 1 (De 1 por propiedad demostrada anteriormente)
(4) ¬¬(a ∧ ¬b) = ¬1 (Aplico la misma operación a ambos miembros)
(5) a ∧ ¬b = ¬1 (Propiedad involutiva del complemento)
(6) a ∧ ¬b = 0 (Aplico ¬1 = 0)
(7) a = ¬¬b (Aplico otra propiedad demostrada anteriormente sobre 3 y 6)
(8) a = b (Propiedad involutiva del complemento)
Si omitimos que no demostramos ni la propiedad involutiva del complemento ni que ¬0 = 1 (las demostraciones son simples, quedan como ejercicio para el lector :-), sabemos como transformar una ecuación arbitraria en una igualada a 1. Ahora podemos aplicar que x ∧ y = 1 implica que x = y = 1 para expresar el sistema de ecuaciones anterior como:
¬(f1(x, y, z, ...) ∧ ¬g1(x, y, z, ...)) ∧
(f1(x, y, z, ...) ∨ ¬g1(x, y, z, ...)) ∧
¬(f2(x, y, z, ...) ∧ ¬g2(x, y, z, ...)) ∧
(f2(x, y, z, ...) ∨ ¬g2(x, y, z, ...)) ∧
¬(f3(x, y, z, ...) ∧ ¬g3(x, y, z, ...)) ∧
(f3(x, y, z, ...) ∨ ¬g3(x, y, z, ...)) ∧
... = 1
Esto cumple en forma automática el objetivo del problema aunque puede ser algo tedioso...
Nota: Las "barras" que se suelen utilizarse para indicar complemento no se expresan fácilmente en HTML. Esto puede resolverse utilizando el operador "¬". Las otras dos operaciones pueden expresarse por "∧" (AND) y "∨" (OR). Por simplicidad, podemos asumir que "∧" tiene prioridad sobre "∨".
Para empezar podemos demostrar que dada una variable y satisfaciendo x ∧ y = 0 y x ∨ y = 1 sabemos que y = ¬x (o sea la unicidad del complemento). Una forma es viendo que:
(1) x ∨ y = 1 (Hipótesis)
(2) ¬x ∧ (x ∨ y) = ¬x ∧ 1 (Aplico la misma operación a ambos miembros)
(3) ¬x ∧ (x ∨ y) = ¬x (Definición de 1)
(4) ¬x ∧ x ∨ ¬x ∧ y = ¬x (Propiedad distributiva)
(5) 0 ∨ ¬x ∧ y = ¬x (Definición de complemento)
(6) x ∧ y = 0 (Hipótesis)
(7) x ∧ y ∨ ¬x ∧ y = ¬x (Reemplazando 6 en 5)
(8) (x ∨ ¬x) ∧ y = ¬x (Propiedad distributiva)
(9) 1 ∧ y = ¬x (Definición de complemento)
(10) y = ¬x (Definición de 1)
Otro "lema" que es útil indica que dados x e y tales que x ∧ y = 1, puede decirse que x = 1 y que y = 1. Una forma de demostrarlo es la siguiente:
(1) x ∧ y = 1 (Hipótesis)
(2) x ∧ y ∨ x ∧ ¬y = 1 ∨ x ∧ ¬y (Aplico la misma operación a ambos miembros)
(3) x ∧ y ∨ x ∧ ¬y = 1 (Propiedad absorbente)
(4) x ∧ (y ∨ ¬y) = 1 (Propiedad distributiva)
(5) x ∧ 1 = 1 (Definición de complemento)
(6) x = 1 (Definición de 1)
Por simetría podemos ver que y = 1 y podemos evitar demostrar la propiedad absorbente para poder llegar alguna vez al tema a tratar :-)
Ahora, podemos ver a todo sistema de ecuaciones como una serie de igualdades entre funciones que requieren satisfacerse. Por ejemplo:
f1(x, y, ...) = g1(x, y, ...)
f2(x, y, ...) = g2(x, y, ...)
f3(x, y, ...) = g3(x, y, ...)
...
Ahora, como sabemos que x ∧ y = 0 y x ∨ y = 1 implican x = ¬y y que x ∧ y = 1 implica que tanto x como y son iguales a 1, podemos expresar una igualdad arbitraria a = b como ¬(a ∧ ¬b) ∧ (a ∨ ¬b) = 1 aplicando lo siguiente:
Ida
(1) a = b (Hipótesis)
(2) a = ¬(¬b) (Propiedad involutiva del complemento)
(3) a ∧ ¬b = 0 (Definición de complemento)
(4) a ∨ ¬b = 1 (Definición de complemento)
(5) ¬(a ∧ ¬b) = ¬0 (Aplico la misma operación a ambos miembros)
(6) ¬(a ∧ ¬b) = 1 (Aplico ¬0 = 1)
(7) ¬(a ∧ ¬b) ∧ (a ∨ ¬b) = 1 (Aplico ∧ miembro a miembro sobre 4 y 6)
Vuelta
(1) ¬(a ∧ ¬b) ∧ (a ∨ ¬b) = 1 (Hipótesis)
(2) ¬(a ∧ ¬b) = 1 (Propiedad demostrada anteriormente)
(3) a ∨ ¬b = 1 (De 1 por propiedad demostrada anteriormente)
(4) ¬¬(a ∧ ¬b) = ¬1 (Aplico la misma operación a ambos miembros)
(5) a ∧ ¬b = ¬1 (Propiedad involutiva del complemento)
(6) a ∧ ¬b = 0 (Aplico ¬1 = 0)
(7) a = ¬¬b (Aplico otra propiedad demostrada anteriormente sobre 3 y 6)
(8) a = b (Propiedad involutiva del complemento)
Si omitimos que no demostramos ni la propiedad involutiva del complemento ni que ¬0 = 1 (las demostraciones son simples, quedan como ejercicio para el lector :-), sabemos como transformar una ecuación arbitraria en una igualada a 1. Ahora podemos aplicar que x ∧ y = 1 implica que x = y = 1 para expresar el sistema de ecuaciones anterior como:
¬(f1(x, y, z, ...) ∧ ¬g1(x, y, z, ...)) ∧
(f1(x, y, z, ...) ∨ ¬g1(x, y, z, ...)) ∧
¬(f2(x, y, z, ...) ∧ ¬g2(x, y, z, ...)) ∧
(f2(x, y, z, ...) ∨ ¬g2(x, y, z, ...)) ∧
¬(f3(x, y, z, ...) ∧ ¬g3(x, y, z, ...)) ∧
(f3(x, y, z, ...) ∨ ¬g3(x, y, z, ...)) ∧
... = 1
Esto cumple en forma automática el objetivo del problema aunque puede ser algo tedioso...
sábado, 2 de agosto de 2008
Me pasó otra vez...
...Google insiste en confundirme con un bot. No se que es lo que confundirá a sus algoritmos de detección, aunque sospecho de mi tendencia a abrir múltiples pestañas cuando veo una lista de links :-)
Por si fuera poco, el CAPTCHA también me clasificó como "no humano", ya que realmente me resultaba difícil ver que es lo que decía. Tengo la sospecha de que navegar por Internet en el futuro va a ser realmente interesante...
Por si fuera poco, el CAPTCHA también me clasificó como "no humano", ya que realmente me resultaba difícil ver que es lo que decía. Tengo la sospecha de que navegar por Internet en el futuro va a ser realmente interesante...
viernes, 18 de julio de 2008
spice3f5 para Visual C++
Acabo de agregar a la página de mi proyecto de Tesis una versión de spice3f5 compilable con Microsoft Visual C++ 2008. Esto permite realizar fácilmente análisis de una netlist cualquiera (aunque no incluye manual de uso :-)
miércoles, 2 de julio de 2008
Un problema de probabilidad
En un juego, se presentan a una persona dos sobres. Sabe que uno de ellos contiene una cantidad desconocida de dinero 'A', y que el otro contiene el doble de esa cantidad, pero el jugador desconoce "cuál es cual". Se le dice que puede llevarse solo uno de los sobres y que debe llevarse el último sobre que abra.
La pregunta es: después de haber elegido y abierto un sobre, le conviene cambiarlo por el otro?
La respuesta intuitiva es "no", ya que ver el contenido del sobre no nos permite discriminar entre el caso en que elegimos el sobre con la cantidad A y el caso en que elegimos el sobre con al cantidad 2A. Al no tener evidencia proveniente de ver el contenido del sobre, el intercambio nos sería indiferente.
Ahora supongamos que calculamos el valor esperado del contenido del sobre no abierto, al que denominaremos "sobre 2". Si llamamos B al contenido del sobre abierto, el sobre 2 puede tener contenido B/2 o 2B. Asumiendo la indiferencia mencionada anteriormente, el valor esperado del contenido del sobre 2 sería:
E(contenido sobre 2) = 1/2 B/2 + 1/2 2B = B/4 + B = 5/4 B
Esto implicaría que siempre nos sería conveniente realizar el intercambio!
Más detalles sobre el problema y sus implicaciones en Wikipedia...
La pregunta es: después de haber elegido y abierto un sobre, le conviene cambiarlo por el otro?
La respuesta intuitiva es "no", ya que ver el contenido del sobre no nos permite discriminar entre el caso en que elegimos el sobre con la cantidad A y el caso en que elegimos el sobre con al cantidad 2A. Al no tener evidencia proveniente de ver el contenido del sobre, el intercambio nos sería indiferente.
Ahora supongamos que calculamos el valor esperado del contenido del sobre no abierto, al que denominaremos "sobre 2". Si llamamos B al contenido del sobre abierto, el sobre 2 puede tener contenido B/2 o 2B. Asumiendo la indiferencia mencionada anteriormente, el valor esperado del contenido del sobre 2 sería:
E(contenido sobre 2) = 1/2 B/2 + 1/2 2B = B/4 + B = 5/4 B
Esto implicaría que siempre nos sería conveniente realizar el intercambio!
Más detalles sobre el problema y sus implicaciones en Wikipedia...
miércoles, 30 de abril de 2008
Factories en C++
Las implementaciones normales de factories en C++ suelen introducir la necesidad de modificar la clase Factory o su inicialización para cada clase que se agrega. Los intentos de evadir esta centralización utilizando la inicialización estática suelen ser algo como lo que aparece en el ejemplo factory_mal (es claro que hay algo mal :-) .
Este ejemplo utiliza la inicialización de variables globales para realizar el registro de los factory methods. En muchos casos esto parece funcionar, de hecho me acaba de funcionar al probarlo, pero contiene un error grave: asume un orden de inicialización de objetos estáticos entre distintos archivos (bueno, "unidades de traducción").
El problema en que no puede suponerse que los distintos Registrators vayan a inicializarse después que Factory::cm_. Si los Registrators se inicializan primero, Factory::registrate() accederá a un map no inicializado, probablemente llevando a un segmentation fault.
La solución a esto es la misma que la aplicada en el Singleton de Meyers: utilizar una variable estática dentro de un método. De este modo podemos garantizar que el objeto estará inicializado cuando sea utilizado.
Obviamente esta solución no maneja los problemas con múltiples threads, ni arregla mágicamente los problemas de diseño que puedan ser provocados por el uso indebido de singletons, pero soluciona el problema de la inicialización.
Este ejemplo utiliza la inicialización de variables globales para realizar el registro de los factory methods. En muchos casos esto parece funcionar, de hecho me acaba de funcionar al probarlo, pero contiene un error grave: asume un orden de inicialización de objetos estáticos entre distintos archivos (bueno, "unidades de traducción").
El problema en que no puede suponerse que los distintos Registrators vayan a inicializarse después que Factory::cm_. Si los Registrators se inicializan primero, Factory::registrate() accederá a un map no inicializado, probablemente llevando a un segmentation fault.
La solución a esto es la misma que la aplicada en el Singleton de Meyers: utilizar una variable estática dentro de un método. De este modo podemos garantizar que el objeto estará inicializado cuando sea utilizado.
Obviamente esta solución no maneja los problemas con múltiples threads, ni arregla mágicamente los problemas de diseño que puedan ser provocados por el uso indebido de singletons, pero soluciona el problema de la inicialización.
sábado, 5 de abril de 2008
Relatividad en 6 minutos
(Vía John Walker)
Sí, un video musical por Max Tegmark! No puedo imaginarme algo así en la FIUBA aunque, en realidad, tampoco lo imaginaba en el MIT :-D
El paper con la letra...
Sí, un video musical por Max Tegmark! No puedo imaginarme algo así en la FIUBA aunque, en realidad, tampoco lo imaginaba en el MIT :-D
El paper con la letra...
Suscribirse a:
Entradas (Atom)